1_基本的概念§1 実数の集合
ある一定の性質を持つ全体を集合という。その性質を持つ個々のものを集合の元または要素と呼ぶ。集合M,Nの間に以下の演算を定義する。 和集合 M $\cup$ N = {x; x $\in$ M または x $\in$ N}積集合 M ...
1_基本的概念
1_基本的概念§2 有界集合、上限・下限
集合Mにおいて、x $\in$ M なる全てのxに対してx $\leqq$ bが成り立つとき、つまり、M $\subset$ (-$\infty$, b ]であるbが存在するときMは上に有界であるといい、bをMの上界と呼ぶ。同様にM $\...
1_基本的概念§3 数列の極限
$x_1,x_2,・・・,x_n,・・・$のように自然数に対応して無限個の数が並べられているとき、これを数列といい{$x_n$}で表す。 集合{$x_1, x_2, ・・・,x_n,・・・$}の部分集合で、$n_1 < n_2...
1_基本的概念§４ 集積値、上極限、下極限
(Bolzano-Weierstrass) 有界数列は少なくとも１つの収束部分列を持つ。 「解析学教程」の証明は、曖昧な箇所があるため、youtubeの説明を紹介する。 \begin{align}&有界数列\{x_n\}の区...
1_基本的概念§５ 関数
実数の集合Mの任意の数に対して１個の数を対応付ける規則を関数という。Mをこの関数の定義域という。 集合Mの任意の数を表す文字を変数といい、Mをその変数の変域という。Mの数を$x$で表すとき、関数$f$によって$x$に対応ずけられる数...
1_基本的概念§６ 関数の極限値
\begin{align}&\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \epsilon ...
1_基本的概念§７ 連続関数
関数$f(x)$がa近傍で(a自身においても)定義され$$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$であるとき、すなわち$$\forall \epsilon > 0,\exists \delta > 0 \; s.t....
1_基本的概念§８ 逆関数
$y=f(x)$はにおいて狭義の単調関数とする。$\alpha=f(a), \beta=f(b)$とすると中間値の定理より、yは$\alpha \leqq y \leqq \beta（または\beta \leqq y \leqq \al...
2_微分法§１ 導関数
$y=f(x)$を開区間(a,b)で定義された関数とする。$x \in (a,b)$を固定して$$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$が存在するならば$f(x)$は$x$に...
2_微分法§２ 微分法の公式
ある区間で$u=f(x),v=g(x)$が微分可能ならば、その区間で$u$と$v$の和・差・積・商も微分可能で、その導関数は次のようになる。(1) $(ku)' = ku'$ ($k$は定数) (2) $(u+v)' = u' + ...