§２　微分法の公式

[定理１] ある区間で$u=f(x),v=g(x)$が微分可能ならば、その区間で$u$と$v$の和・差・積・商も微分可能で、その導関数は次のようになる。(1) $(ku)’ = ku’$ ($k$は定数)　　　(2) $(u+v)’ = u’ + v’$(3) $(uv)’ = u’v + uv’ $(4)$\displaystyle (\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$ (ただし $v \neq 0$)

[証明] 高校 数Ⅲで学習済み
\begin{align}
(1)\quad &\\
(ku)’ &= \lim_{h \to 0}\frac{kf(x+h) – kf(x)}{h}\\
&= k\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) – f(x)}{h}\\
&=kf'(x)=ku’\\
&\\
(2)\quad & (1)と同様\\
&\\
(3)\quad &\\
(uv)’ &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\
&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\
&=u’v+uv’\\
&\\
(4)\quad &\\
(\frac{u}{v})’ &= \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{1}{g(x+h)g(x)}\frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x)-f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}\\
&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
&=\frac{u’v-uv’}{v^2}
\end{align}

[問2] nを整数とするとき、次の式を証明せよ。
(1) $(x^n)’=nx^{n-1}$
\begin{align}
(x^n)’&=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}\frac{x^n+{}_n C_1 x^{n-1}h+{}_n C_2 x^{n-2}h^2+ \cdots +h^n – x^n}{h}\\
&=\lim_{h \to 0}(nx^{n-1}+{}_n C_2 x^{n-2}h+ \cdots + h^{n-1})\\
&=nx^{n-1}
\end{align}

[定理２] (合成関数の微分法)　２つの関数$y=f(x), x=\varphi(t)$がそれぞれx,tの区間で微分可能で、$\varphi(t)$の値域が$f(x)$の定義域に含まれるならば、合成関数$y=F(t)=f(\varphi(t))$は微分可能で導関数は次の式で与えられる。$$F'(t)=f'(x)\varphi ‘(t) あるいは \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

[証明] 高校 数Ⅲで学習済み
\begin{align}
\Delta x &= \varphi(t+\Delta t ) – \varphi(t) とすると、\Delta t \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta x \rightarrow 0\\
\Delta y &= f(x+\Delta x) – f(x)とすると\\
\frac{dy}{dt}&=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\frac{\Delta x}{\Delta t}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\\
&=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}
\end{align}

[定理３](逆関数の微分法)　ある区間で定義された狭義の単調関数$f(x)$が微分可能ならば、$f'(x) \neq 0$のとき、逆関数$x=\varphi(y)$も微分可能で$$\displaystyle \varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}すなわち \; \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$　

[証明] 高校 数Ⅲで学習済み
\begin{align}
& f(x)は狭義の単調関数なので\Delta x \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta y \rightarrow 0\\
\varphi'(y)&=\lim_{\Delta y \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\\
&=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}
\end{align}

[問５] $\alpha$が有理数のとき、$y=x^\alpha (x>0)$ならば$y’=\alpha x^{\alpha-1}$となることを証明せよ。
\begin{align}
&y=x^{\frac{n}{m}} (m,nは自然数)とする。\\
&y^m=x^n \; 両辺をxで微分して\\
&my^{m-1}\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}\\
&\frac{dy}{dx}=\frac{n}{m}\frac{x^{n-1}}{y^{m-1}}\\
&=\frac{n}{m}\frac{x^{n-1}}{x^{\frac{n(m-1)}{m}}}\\
&=\frac{n}{m}x^{\frac{n}{m}-1}\\
\end{align}

[定理４] (媒介変数による微分法) $x=f(t)$, $y=g(t)$が$t$のある区間で微分可能とする。$f(t)$が狭義の単調関数ならば、yをxの関数と考えることができるが、その関数$y=g(f^{-1}(x)) \; (t=f^{-1}(x)はx=f(t)の逆関数)$は微分可能で、$$\frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \; すなわち \; \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}$$

[証明]
\begin{align}
&定理２より　\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\\
&g'(t)=\frac{dy}{dx}f'(t)\\
& \therefore \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}
\end{align}

以上をもとに指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数などの導関数を求めることができる。