平均値
ｎ個の値 $y_1,y_2, \cdots, y_n$があるとき$$\frac{1}{n}(y_1+y_2+\cdots+y_n)$$を$y_1,y_2, \cdots, y_n$の平均値という。
値が連続的に分布している場合を考える。$f(x)$を連続関数とする。閉区間$[a,b]$をn等分し、各区間内にそれぞれ任意の１点$\xi_i (i=1,2,\cdots,n)$をとり$$\frac{1}{n}(f(\xi_1)+f(\xi_2)+\cdots+f(\xi_n))$$を考える。各区間の長さを$\Delta x$とすると上式は次のように変形される。$$\frac{1}{n\Delta x}(f(\xi_1)\Delta x+f(\xi_2)\Delta x+\cdots+f(\xi_n)\Delta x)$$ここで$\Delta x \to 0$とすると積分の定義により上式は$$\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$$となる。これを$[a,b]$における連続関数$f(x)$の平均値という。またこれを$$f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx, \; a<\xi<b$$と表したものが積分の平均値の定理である。
関数を２変数の場合に拡張して考えると面積確定の有界閉集合Dで$f(x,y)$が連続ならば、Dのある内点$(\xi,\eta)$に対して
\begin{align}
f(\xi,\eta)=\frac{\displaystyle \iint_Df(x,y)dxdy}{\displaystyle \iint_Ddxdy}
\end{align} である。これをDにおけるf(x,y)の平均値という。
[例１] 円盤の密度が中心からの距離の平方に比例するとき、その平均密度を求めよ。
[解] 密度を$\rho=kr^2\; (\rho: 密度,\; R:半径,\; k:比例定数)$とする。
\begin{align}
平均密度&=\frac{\displaystyle \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^Rkr^2rdr}{\pi R^2}=\frac{\displaystyle 2\pi k\int_0^Rr^3dr}{\pi R^2}\\
&=\frac{2k}{R^2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R=\frac{kR^2}{2}\\
\end{align}3変数の場合は、体積確定の有界閉集合Dで$f(x,y,z)$が連続ならば
\begin{align}
f(\xi,\eta,\zeta)=\frac{\displaystyle \iiint_Df(x,y,z)dxdydz}{\displaystyle \iiint_Ddxdydz}
\end{align}をDにおける$f(x,y,z)$の平均値という。$(\xi,\eta,\zeta)$はDの内点である。
重心とモーメント
質量 $m_1,m_2,\cdots,m_n$のn個の質点が同一平面上にあって、それらの座標が $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$のとき、$$L_x=\sum_{i=1}^nm_i y_i,\; L_y=\sum_{i=1}^nm_i x_i$$をそれぞれこの質点系のx軸、y軸に関するモーメント（力のモーメントではない）という。これは位置ベクトルを$\boldsymbol{r}$としたときの$\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i\boldsymbol{r_i}$のx座標とy座標になる。また$$\bar{x}=\frac{L_y}{\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i}=\frac{L_y}{M},\;\; \bar{y}=\frac{L_x}{\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i}=\frac{L_x}{M} \; \left(M=\sum_{i=1}^n m_i\right)$$とするとき、$(\bar{x},\bar{y})$をこの質点系の重心という。重心の意味を説明する。運動方程式から
\begin{align}
F_i&=m_i\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2}\\
F&=\sum_{i=1}^nF_i=\sum_{i=1}^nm_i\frac{d^2 \boldsymbol{r_i}}{dt^2}=\frac{\displaystyle d^2 (\sum_{i=1}^nm_i\boldsymbol{r_i})}{dt^2}\\
重心を\boldsymbol{R}&=(\bar{x}, \bar{y})とすると\\
\boldsymbol{R}&=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nm_i\boldsymbol{r_i}}{M}\\
\therefore F&=M\frac{d^2 R}{dt^2}\\
よって&重心の運動は、重心に剛体の質量が集中したときの運動と等しくなる。
\end{align} 平面図形(面積確定の有界閉集合)Dの密度が連続であるとき、Dを小長方形に分割し、点$(\xi_i,\eta_j)$を含む小長方形の密度、面積を$\rho (\xi_i,\eta_j), \Delta x_i\Delta y_j=\omega_{ij}$とすればモーメントは$$L_y=\sum_{i,j}\xi_i\rho(\xi_i,\eta_j)\omega_{ij}, \; L_x=\sum_{i,j}\eta_j\rho(\xi_i,\eta_j)\omega_{ij}$$であり、重心は$$\bar{x}=\frac{L_y}{\displaystyle \sum_{i,j}\rho(\xi_i, \eta_j)\omega_{ij}}, \;\; \bar{y}=\frac{L_x}{\displaystyle \sum_{i,j}\rho(\xi_i, \eta_j)\omega_{ij}}$$である。
分割を細かくし、小長方形の辺の長さを０に収束させれば上式はそれぞれ次のようになる。
\begin{align}
&L_y=\iint_Dx\rho(x,y)dxdy, \;\; L_x=\iint_Dy\rho(x,y)dxdy\\
&\bar{x}=\frac{\displaystyle \iint_Dx\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle \iint_D\rho(x,y)dxdy}=\frac{L_y}{M}, \;\; \bar{y}=\frac{\displaystyle \iint_Dy\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle \iint_D\rho(x,y)dxdy}=\frac{L_x}{M}
\end{align}これらをそれぞれy軸、x軸に関するDのモーメントおよびDの重心という。また$$M=\iint_D\rho(x,y)dxdy$$はDの質量である。
[例２] 密度一様な半径aの半円 $D: x^2+y^2 \leq a^2, \;\; x \geq 0$の重心を求めよ。
[解]
\begin{align}
M&=\frac{\pi a^2 \rho}{2}\\
L_y&=2\rho\int_0^ady\int_0^{\sqrt{a^2-y^2}}xdx\\
&=2\rho\int_0^a\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{a^2-y^2}}dy\\
&=2\rho\int_0^a\frac{a^2-y^2}{2}dy=\rho\left[a^2y-\frac{y^3}{3}\right]_0^a\\
&=\frac{2}{3}\rho a^3\\
\bar{x}&=\frac{L_y}{M}=\frac{\displaystyle \frac{2}{3}\rho a^3}{\displaystyle \frac{\pi a^2 \rho}{2}}=\frac{4a}{3\pi}\\
半円は&x軸に対して対象なので、\bar{y}=0\\
\therefore 重心 G&=(\frac{4a}{3\pi}, 0)
\end{align}
[例３] 密度一様な面積Sの平面図形 $a \leq x \leq b, \; 0 \leq y \leq f(x)$をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積は$$(重心が描く図形の円周) \times (図形の面積)$$で与えられることを証明せよ。(Pappus-Guldin(パップス=ギュルダン)の定理)
[解]
\begin{align}
V&=\pi\int_a^bf(x)^2dx\\
&=2\pi\int_a^b\frac{f(x)^2}{2}dx\\
&=2\pi\int_a^bdx\int_0^{f(x)}ydy=2\pi\iint_Dydxdy\\
&=2\pi\frac{\displaystyle \iint_Dydxdy}{\displaystyle \iint_Ddxdy}\iint_Ddxdy\\
&=2\pi\bar{y}S
\end{align}
3変数の場合は、立体図形(体積確定の有界閉集合)Dの密度$\rho(x,y,z)$が連続であれば
\begin{align}
\bar{x}&=\frac{\displaystyle \iiint_Dx\rho(x,y,z)dxdydz}{M},\;\; \bar{y}&=\frac{\displaystyle \iiint_Dy\rho(x,y,z)dxdydz}{M}\\
\bar{z}&=\frac{\displaystyle \iiint_Dz\rho(x,y,z)dxdydz}{M}
\end{align}をDの重心という。$\displaystyle M=\iiint_D\rho(x,y,z)dxdydz$はDの質量を表す。
$[a,b]$でなめらかな曲線$y=f(x)$の密度を$\rho(x)$とする。重心の座標は
\begin{align}
\bar{x}&=\frac{\displaystyle \int_a^bx\rho(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{M}\\
\bar{y}&=\frac{\displaystyle \int_a^by\rho(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{M}\\
M&=\int_a^b\rho(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\
\end{align}Mは曲線の質量になる。
[例４] 密度一様な長さlの曲線 $y=f(x) \geq 0,\; a \leq x \leq b$をx軸のまわりに回転してできる回転体の表面積は$$(重心が描く円周の長さ) \times (曲線の長さ)$$となる。(Pappus-Guldinの定理)
[解] §5 定理４より表面積をSとすると
\begin{align}
S&=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\
&=2\pi\frac{\displaystyle \rho\int_a^by\sqrt{1+f'(x)^2}dx}{\displaystyle \rho\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx}\cdot\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\
\end{align}初項は「重心が描く円周の長さ」で第２項は「曲線 $y=f(x)$の$a \leq x \leq b$での長さ」になる。
[例５] 密度一様な半球面 $x^2+y^2+z^2=a^2 \; (z \geq 0)$の重心を求めよ。
[解] 図形の対称性から$\bar{x}=\bar{y}=0$は明らか。
\begin{align}
\bar{z}&=\frac{1}{2\pi \rho a^2}\iint_D\rho z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy\\
z&=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \;\; \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},\;\; \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\\
\therefore \bar{z}&=\frac{1}{2\pi a^2}\iint_Dz\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}dxdy\\
&=\frac{1}{2\pi a}\iint_Ddxdy\\
&=\frac{\pi a^2}{2\pi a}=\frac{a}{2}\\
\therefore 重心 G&=(0,0, \frac{a}{2})
\end{align}
慣性能率
剛体が質量 $m_1,m_2,\cdots,m_n$のn個の質点から成るとき、質点より定直線gまでの距離を $r_1,r_2,\cdots,r_n$とするとき$$I_g=\sum_{i=1}^n m_ir_i^2$$を直線gに関する慣性能率(慣性モーメント)という。
各質点の角運動量を$L_i$とすると剛体の角運動量Lは
\begin{align}
L_i&=m_i v_i r_i = m_i r_i^2 \omega\\
L&=\sum_{i=1}^nL_i=\omega\sum_{i=1}^n m_i r_i^2=I_g\omega
\end{align} 角運動量の慣性能率($I_g$)は、運動量の質量に対応する。
z軸に関する質点系の慣性能率は次式で表される。
$$I_z=\iiint_D\rho(x,y,z)(x^2+y^2)dxdydz$$ 円柱座標で表すと
\begin{align}
x&=r\cos\theta,\;\; y=r\sin\theta,\;\; z=z\\
I_z&=\iiint_D\rho(r\cos\theta, r\sin\theta, z)r^2|J|drd\theta dz\\
J&=
\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}=r\\
\therefore I_z &=\iiint_D\rho(r\cos\theta, r\sin\theta, z)r^3drd\theta dz\\
\end{align}
[例６] 半径Rの底面を持つ直円柱の軸に関する慣性能率を求めよ。ただし、密度一様、全質量をMとする。
[解] $\rho$を密度,Hを円柱の高さ,Iを慣性能率とする。
\begin{align}
\rho&=\frac{M}{\pi R^2H}\\
I&=\iiint_D\rho r^3drd\theta dz=\iiint_D\frac{M}{\pi R^2H} r^3drd\theta dz\\
&=\frac{M}{\pi R^2H}2\pi H\int_0^Rr^3dr=\frac{2M}{R^2}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R\\
&=\frac{MR^2}{2}
\end{align}
[例７] 質量Mの物体の直線g’に関する慣性能率を$I_g’$、重心をとおりg’に平行な直線gに関する慣性能率を$I_g$とし、gとg’の距離をaとすれば$$I_g’=I_g+a^2M$$で与えられることを証明せよ。
[解] 重心を原点にとり、gをz軸、原点からg’に下ろした垂線をx軸とする。物体の密度を$\rho(x,y,z)$とすると
\begin{align}
I_g’&=\iiint_D\rho\{(x-a)^2+y^2\}dxdydz\\
&=\iiint_D\rho(x^2+y^2)dxdydz-2a\iiint_Dx\rho dxdydz+a^2\iiint_D\rho dxdydz\\
&=I_g-2a\bar{x}M+a^2M\\
\end{align} 原点を重心にとっているので、
\begin{align}
\bar{x}&=0\\
\therefore I_g’&=I_g+a^2M\\
\end{align}
Mを全質量とするとき$$R=\sqrt{\frac{I_g}{M}}$$を直線gに関する質点系の回転半径という。
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