2_微分法

$y=f(x)$を開区間(a,b)で定義された関数とする。$x \in (a,b)$を固定して$$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$が存在するならば$f(x)$は$x$に...

ある区間で$u=f(x),v=g(x)$が微分可能ならば、その区間で$u$と$v$の和・差・積・商も微分可能で、その導関数は次のようになる。(1) $(ku)' = ku'$ ($k$は定数)　　　(2) $(u+v)' = u' + ...

$y=f(x)$の導関数、$f'(x)$がある区間で微分可能ならば、$(f'(x))'$が定まる。これを$f''(x),y'',d^2y/dx^2$などと書き、$f(x)$の第２次導関数という。同様に第３次、第４次、$\cdots$の導関...

(Rolleの定理) で定義された関数$f(x)$が、で連続で、(a,b)で微分可能、かつ$f(a)=f(b)$ならば、$f'(\xi)=0,a<\xi<b$となるような$\xi$が少なくとも１つは存在する。 ...

(Taylorの定理) で定義された関数$f(x)$について、$f^{(n-1)}(x)$がで連続で、$f^{(n-1)}(x)$が(a,b)で微分可能ならば$$ f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+\frac{f''(a)}{2...

極限値が$\displaystyle \frac{0}{0},0^0,\infty - \infty,\frac{\infty}{\infty}$と表されるとき、不定形という。不定形の極限値を求めるときは次の定理がよく用いられる。 ...

極限において０になるような関数を無限小という。いくつかの無限小があるときに、それらの０に近づく速さが問題になる。たとえば$x \rightarrow 0$のときに$x^2とx^3$を比べると$x^3$のほうが速く０に収束する。 $x...

次の定理は関数が単調増加（単調減少）であるための必要十分条件となる。 で連続で、($a,b$)で微分可能な関数$f(x)$がで単調増加（または単調減少）であるための必要十分条件は、($a,b$)において常に$f'(x) \geqq...

$x_0$の近傍で定義された関数$f(x)$について、十分小さな任意の$h \neq 0$に対して$f(x_0) >f(x_0+h)$が成り立つならば、$f(x)$は$x_0$で極大になるといい、$f(x_0)$を極大値という。$f...

$f(x)$は２回連続微分可能とする。２点 $P(x,f(x)), Q(x+h,f(x+h))$における接線が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ、$\theta(x), \theta(x+h) (ただし|\theta(x)|<\p...