立体図形を小直方体に分割することにより、３重積分の概念を導入することができる。
$f(x,y,z)$を閉直方体 $K: a_1 \leq x \leq a_2,\; b_1 \leq y \leq b_2,\; c_1 \leq z \leq c_2$で定義された有界関数とする。$[a_1,a_2], [b_1,b_2], [c_1,c_2]$それぞれに分点を入れ
\begin{align}
&a_1=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{l-1}<x_l=a_2\\
&b_1=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_{m-1}<y_m=b_2\\
&c_1=z_0<z_1<z_2<\cdots<z_{n-1}<z_n=c_2\\
\end{align} とし、各座標上の分点を通る座標平面への並行平面によりKをlmn個の小直方体に分割する。この分割を$\Delta$,小直方体 $K_{ijk}: x_{i-1} \leq x \leq x_i, y_{j-1} \leq y \leq y_j, z_{k-1} \leq z \leq z_k$における$f(x,y,z)$の上限を$M_{ijk}$、下限を$m_{ijk}, K_{ijk}$の体積を$\omega_{ijk}$として$$S_{\Delta}=\sum_{i,j,k}M_{ijk}\omega_{ijk}, \; s_{\Delta}=\sum_{i,j,k}m_{ijk}\omega_{ijk}$$を作る。Kのあらゆる分割$\Delta$に対する$S_{\Delta}$の下限をS, $s_{\Delta}$の上限をsとすると常に$S \geq s$である。特に$S=s$えだるときその値をKにおける$f(x,y,z)$の３重積分と言って$$\iiint_Kf(x,y,z)dxdydz$$で表す。
閉直方体で連続な関数は積分可能である。(§１ [定理１] 参照)
空間内の集合Dを含む、各面が座標平面に平行な閉直方体をKとする。
$$\varphi_D(x,y,z)=
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & (x,y,z) \in D\\
0 & (x,y,z) \notin D
\end{array}
\right .
$$ で定義されるDの特性関数がKで積分可能のとき、Dは体積確定であるといい $$V(D)=\iiint_Ddxdydz=\iiint_K \varphi(x,y,x)dxdydz$$ で表される量をDの体積という。
空間内の集合Dが体積確定となるための必要十分条件は、境界の体積が０であることである。(§１ [定理２]参照)
体積確定の有界閉集合Dにおける積分可能性・３重積分の概念が、２重積分の場合と全く同様に定義できて、「体積確定の有界閉集合Dで連続な関数は、Dで積分可能である。(§１ [定理３]参照)」ことが示される。
- ３重積分の性質
- [定理１] $f(x,y,z)$が閉直方体Kで連続ならば$$\iiint_K f(x,y,z)dxdydz = \int_{a_1}^{a_2}dx\iint_{K_x}f(x,y,z)dydz$$$$=\int_{a_1}^{a_2}dx\int_{b_1}^{b_2}dy\int_{c_1}^{c_2}f(x,y,z)dz=\iint_{K_z}dxdy\int_{c_1}^{c_2}f(x,y,z)dz$$$$=\int_{b_1}^{b_2}dy\iint_{K_y}f(x,y,z)dxdz$$
- [定理２] $f(x,y,z)$が$D: a_1 \leq x \leq a_2,\; \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x),\; \psi_1(x,y) \leq z \leq \psi_2(x,y)$で連続ならば$$\iiint_D f(x,y,z)dxdydz=\int_{a_1}^{a_2}dx\iint_{Dx}f(x,y,z)dydz$$ $$=\int_{a_1}^{a_2}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$が成り立つ。ただし、$\varphi_1(x), \varphi_2(x), \psi_1(x,y), \psi_2(x,y)$は連続関数である。(§２ [定理３]参照)
- [定理３] uvw-空間の体積確定の有界閉集合D’を含むある開集合でなめらかな写像$\; x=\varphi(u,v,w),\; \psi(u,v,w),\; z=\chi(u,v,w)$により, D’がDの上に１対１に写されているとし、写像のJacobianを$J \neq 0$とする。このときDも体積確定で、D上の連続関数$f(x,y,z)$に対し$$\iiint_D f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{D’}f(\varphi,\psi,\chi)|J|dudvdw$$が成り立つ。(§３ [定理２]、[定理３]参照)
３重積分の性質
点(x,0,0)を通るyz-平面に平行な平面による空間図形Dの切り口を$D_x$で表すことにする。$D_y,D_z$も同様の意味の記号である。
[定理１] $f(x,y,z)$が閉直方体Kで連続ならば$$\iiint_K f(x,y,z)dxdydz = \int_{a_1}^{a_2}dx\iint_{K_x}f(x,y,z)dydz$$$$=\int_{a_1}^{a_2}dx\int_{b_1}^{b_2}dy\int_{c_1}^{c_2}f(x,y,z)dz=\iint_{K_z}dxdy\int_{c_1}^{c_2}f(x,y,z)dz$$$$=\int_{b_1}^{b_2}dy\iint_{K_y}f(x,y,z)dxdz$$
[例１] $\displaystyle \iiint_D\frac{xy}{(y^2+z^2)^2}dxdydz \quad D:0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1,\; 1 \leq z \leq \sqrt{3}$を求めよ。
\begin{align}
\iiint_D\frac{xy}{(y^2+z^2)^2}dxdydz&=\int_0^1xdx\iint_{D_x}\frac{y}{(y^2+z^2)^2}dydz\\
&=\iint_{K_x}dydz\frac{y}{(y^2+z^2)^2}\int_0^1 xdx\\
&=\frac{1}{2}\iint_{K_x}\frac{y}{(y^2+z^2)^2}dydz\\
&=\frac{1}{2}\int_1^\sqrt{3}\left[\frac{-1}{2(y^2+z^2)}\right]_0^1dz\\
&=\frac{1}{4}\int_1^\sqrt{3}\left(\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^2+1}\right)dz\\
&=\frac{1}{4}\left[-\frac{1}{z}-\tan^{-1}z\right]_1^\sqrt{3}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\pi}{12}\right)\\
\end{align}
[定理２] $f(x,y,z)$が$D: a_1 \leq x \leq a_2,\; \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x),\; \psi_1(x,y) \leq z \leq \psi_2(x,y)$で連続ならば$$\iiint_D f(x,y,z)dxdydz=\int_{a_1}^{a_2}dx\iint_{Dx}f(x,y,z)dydz$$ $$=\int_{a_1}^{a_2}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$が成り立つ。ただし、$\varphi_1(x), \varphi_2(x), \psi_1(x,y), \psi_2(x,y)$は連続関数である。(§２ [定理３]参照)
[例２] $\displaystyle \iiint_Dxdxdydz \quad D: x^2+y^2+z^2 \leq 1, \; x \geq 0,\;y \geq 0,\;z \geq 0\; $を求めよ。
[解]
\begin{align}
\iiint_Dxdxdydz &= \int_0^1dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}dy\int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}xdz\\
&=\int_0^1dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\Bigl[xz\Bigr]_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}}dy\\
&=\int_0^1dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}x\sqrt{1-x^2-y^2}dy\\
&=\int_0^1\frac{x}{2}\Bigl[y\sqrt{(1-x^2)-y^2}+(1-x^2)\sin^{-1}\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr]_0^{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\frac{\pi}{4}\int_0^1x(1-x^2)dx=\frac{\pi}{4}\Bigl[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^1\\
&=\frac{\pi}{16}
\end{align}
[定理３] uvw-空間の体積確定の有界閉集合D’を含むある開集合でなめらかな写像$\; x=\varphi(u,v,w),\; \psi(u,v,w),\; z=\chi(u,v,w)$により, D’がDの上に１対１に写されているとし、写像のJacobianを$J \neq 0$とする。このときDも体積確定で、D上の連続関数$f(x,y,z)$に対し$$\iiint_D f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{D’}f(\varphi,\psi,\chi)|J|dudvdw$$が成り立つ。(§３ [定理２]、[定理３]参照)
例えば直角座標から球面座標への変換 $$x=r\sin\theta\cos\phi, \; y=r\sin\theta\sin\phi,\; z=r\cos\theta$$に対しては
\begin{align}
J=\frac{D(x,y,z)}{D(r,\theta,\phi)}=
\begin{vmatrix}
\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\
\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\
\cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\end{vmatrix}=r^2\sin\theta
\end{align} であるから $$\iiint_D f(x,y,z)dxdydz=\iiint_{D’}f(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)r^2\sin\theta drd\theta d\phi$$ [球の体積]
\begin{align}
V&=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\phi d\theta\int_0^ar^2\sin\theta dr\\
&=\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi \sin\theta\Bigl[\frac{r^3}{3}\Bigr]_0^a d\theta=\int_0^{2\pi}d\phi \frac{a^3}{3}\int_0^\pi\sin\theta d\theta\\
&=\frac{a^3}{3}\int_0^{2\pi}\Bigl[-\cos\theta\Bigr]_0^\pi d\phi\\
&=\frac{4\pi a^3}{3}
\end{align}
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