1_基本的概念§1 実数の集合 ある一定の性質を持つ全体を集合という。その性質を持つ個々のものを集合の元または要素と呼ぶ。集合M,Nの間に以下の演算を定義する。 和集合 M $\cup$ N = {x; x $\in$ M または x $\in$ N}積集合 M ... 2020.11.061_基本的概念
1_基本的概念§2 有界集合、上限・下限 集合Mにおいて、x $\in$ M なる全てのxに対してx $\leqq$ bが成り立つとき、つまり、M $\subset$ (-$\infty$, b ]であるbが存在するときMは上に有界であるといい、bをMの上界と呼ぶ。同様にM $\... 2020.11.071_基本的概念
1_基本的概念§3 数列の極限 $x_1,x_2,・・・,x_n,・・・$のように自然数に対応して無限個の数が並べられているとき、これを数列といい{$x_n$}で表す。 集合{$x_1, x_2, ・・・,x_n,・・・$}の部分集合で、$n_1 < n_2... 2020.11.081_基本的概念
1_基本的概念§4 集積値、上極限、下極限 (Bolzano-Weierstrass) 有界数列は少なくとも1つの収束部分列を持つ。 「解析学教程」の証明は、曖昧な箇所があるため、youtubeの説明を紹介する。 \begin{align}&有界数列\{x_n\}の区... 2020.11.151_基本的概念
1_基本的概念§5 関数 実数の集合Mの任意の数に対して1個の数を対応付ける規則を関数という。Mをこの関数の定義域という。 集合Mの任意の数を表す文字を変数といい、Mをその変数の変域という。Mの数を$x$で表すとき、関数$f$によって$x$に対応ずけられる数... 2020.11.181_基本的概念
1_基本的概念§6 関数の極限値 \begin{align}&\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \epsilon ... 2020.11.181_基本的概念
1_基本的概念§7 連続関数 関数$f(x)$がa近傍で(a自身においても)定義され$$\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$であるとき、すなわち$$\forall \epsilon > 0,\exists \delta > 0 \; s.t.... 2020.11.211_基本的概念
1_基本的概念§8 逆関数 $y=f(x)$はにおいて狭義の単調関数とする。$\alpha=f(a), \beta=f(b)$とすると中間値の定理より、yは$\alpha \leqq y \leqq \beta(または\beta \leqq y \leqq \al... 2020.12.061_基本的概念