§６　関数の極限値

\begin{align}
&\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \epsilon となるとき、\\
&bをf(x)のaにおける極限値といい、\\
&\\
&\lim_{x \to a}f(x)=b あるいは f(x) \rightarrow b (x \rightarrow a)で表す。\\
&\\
&f(x)がxの十分大きなところで定義されていて、xを大きくすれば、f(x)をいくらでもbに\\
&近づけることができるとき、すなわち\\
&\forall \epsilon > 0, \exists G > 0, x > G \Rightarrow |f(x) – b | < \epsilon のとき\\
&\\
& \lim_{x \to \infty}f(x)=b あるいは、f(x) \rightarrow b (x \rightarrow \infty)とかく。\\
&\\
&同様にして、\lim_{x \to a}f(x)=\infty \equiv \forall G > 0, \exists \delta > 0, |x – a| < \delta \Rightarrow f(x) > G \\
&\lim_{x \to a}f(x)=-\infty \equiv \forall G > 0, \exists \delta > 0, |x – a| < \delta \Rightarrow f(x) < -G\\
&\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty \equiv \forall G2 > 0, \exists G1 > 0, x > G1 \Rightarrow f(x) > G2\\
\end{align}

[定理1]$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=b, \lim_{x \to a}g(x)=c$ならば(1)$\displaystyle \lim_{x \to a}kf(x)=kb$　(2)$\displaystyle \lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=b+c$(3)$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)g(x)=bc$　(4)$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c} (ただし、 c\neq 0)$

[証明]§3 定理4の証明と同様にして証明できる。

$x > a(または x < a)で、xがa$に十分近ければ、$f(x)をいくらでもb$に近づけることができるとき、すなわち
$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, 0<x-a<\delta(または、0<a-x<\delta) \Rightarrow |f(x)-b|<\delta$$となるとき、bを$f(x)$のaにおける右(または、左)からの極限値といい
$$\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=b あるいは　f(a+0)=b$$$$(または、\lim_{x \to a-0}f(x)=b あるいは f(a-0)=b)$$

[定理2]$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$が存在するための必要十分条件は、$\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)$とが存在して、その値が等しいことである。

[証明]極限の定義　$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \epsilon$より明らか。

[例]$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=\lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$ (xは実数。)

$[証明] x > 1 とする。[x]=nとすれば、n \leqq x < n+1 \quad n \rightarrow \inftyとx \rightarrow \inftyは同値。$

\begin{align}
&\frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \leqq \frac{1}{n}\\
&(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{n})^{n+1} \quad \cdots \quad (1) \\
&(1+\frac{1}{n+1})^n = (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}(1+\frac{1}{n+1})^{-1}\\
&\therefore \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=e\cdot 1=e、 同様に\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=e\\
&(1)より両端がeに収束するので、\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\\
&\lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^xを求める。\\
&y=-xとすると、x \rightarrow -\inftyのとき、y \rightarrow \infty よって \lim_{y \to \infty}(1 – \frac{1}{y})^{-y}を求めればよい\\
&(1-\frac{1}{y})^{-y}=(\frac{y-1}{y})^{-y}=(\frac{y}{y-1})^y\\
&=(\frac{y-1+1}{y-1})^y = (1+\frac{1}{y-1})^y\\
&\therefore \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
\end{align}