集合Mにおいて、x $\in$ M なる全てのxに対してx $\leqq$ bが成り立つとき、つまり、M $\subset$ (-$\infty$, b ]であるbが存在するときMは上に有界であるといい、bをMの上界と呼ぶ。同様にM $\subset$ [a, $\infty$)であるaが存在するときMは下に有界であるといい、aをMの下界と呼ぶ。上にも下にも有界のとき、単に有界と呼ぶ。
最小の上界を上限と呼び、sup Mで表す。同様に最大の下界を下限と呼び、inf Mで表す。言い換えると
$\alpha$ = sup Mで表される$\alpha$とは次の性質を持つ。
- Mに属するすべてのxに対して、x $\leqq$ $\alpha$。
- 任意の$\epsilon$ > 0に対して、$\alpha$ – $\epsilon$ < x となるxがMに属する。
(1)は、$\alpha$がMの上界であることを表し、(2)はMには$\alpha$より小さい上界がないことを示す。
$\alpha$より小さい上界$\beta$が存在すると、$\epsilon = \alpha – \beta$なる$\epsilon$を取ると、
$$\alpha – \epsilon = \beta < x$$となるxが存在することになり、$\beta$が上界であることに矛盾する。
有界な集合は最大数、最小数を持つとは限らないが、上限および下限は必ず存在する。これを”実数の連続性の公理”とする。この公理は次の系と同値である。
[系] 空でない下に有界な集合は必ず下限を持つ。
[定理]自然数全体の集合[1,2,3,・・・]は上に有界でない。一般に、任意の整数aに対して、集合[a,2a,3a,・・・]は上に有界でない。
[証明] 集合M=[a,2a,3a,・・・]は上に有界であると仮定する。上限をbとする。 上限の性質(2)よりb – a < na となるnaが存在する。このとき、b < (n+1)a となり、(n+1)aはMの元であり、上限を超える元が存在することになり矛盾する。よって仮定がなりたたないため、集合M=[a,2a,3a,・・・]は上に有界でない。
[系] (Archimedesの公理) 任意の整数 a, bに対して(aがどんなに小さくても、bがどんなに大きくても)、na > bとなる自然数nが存在する。これは、上記定理を言い換えたもの。
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