§１　導関数

$y=f(x)$を開区間(a,b)で定義された関数とする。$x \in (a,b)$を固定して$$\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$が存在するならば$f(x)$は$x$において微分可能（あるいは可微分）であるという。この極限値を$x$における$f(x)$の微分係数と名付ける。他に$dy/dx, y’,f'(x)$などで表す。$x$に$f'(x)$を対応させて得られる関数を$f(x)$の導関数といい、$f(x)$から$f'(x)$を求めることを微分するという。

$\displaystyle \lim_{h \to +0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$が存在するなら、f(x)はxにおいて右微分可能とであるといい、この極限値を右微分係数といって$f_{+}'(x)$で表す。左微分係数についても同様に定義し$f_{-}'(x)$で表す。$f(x)$がxにおいて微分可能であるための必要十分条件は$f_{+}'(x)$,$f_{-}'(x)$が存在して両者が等しいことである。

$f(x)$が閉区間(a, b)で微分可能で、かつ$f_{+}'(a)$,$f_{-}'(b)$が存在するならば、$f(x)$は閉区間[a,b]で微分可能であるという。

[定理１]微分可能な関数は連続関数である。

[証明]
\begin{align}
&\lim_{h \to 0}(f(x+h)-f(x))=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}h=f'(x)\cdot 0=0\\
&\therefore \lim_{h \to 0}f(x+h)=f(x) であり、f(x)は連続
\end{align}

$x$が$\Delta x$だけ変化したときの$y$の増分$f(x+\Delta x) – f(x)$を$\Delta y$で表すことにすれば、$f(x)$が $x$において微分可能のとき$$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + \epsilon(x,\Delta x)とおくと \; \lim_{\Delta x \to 0}\epsilon(x, \Delta x)=0$$これより$$\Delta y = f'(x) \Delta x + \epsilon(x,\Delta x)\Delta x$$